MLP

一、从生物神经元到人工感知机 深度学习的名字里带有“神经”二字，是因为它最初的灵感来自生物神经元。一个生物神经元大致是这样工作的：树突接收来自其他神经元的信号，细胞体对这些信号进行整合；当总信号超过某个阈值时，神经元就会被激活，并通过轴突向外发出脉冲。人工感知机就是对这一过程的高度简化。1957 年前后，Frank Rosenblatt 提出了人工感知机模型。它的数学表达非常简单： $$y = f(W^T x + b)$$ 也可以写成： $$y = f\left(\sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b\right)$$ 其中： $x$ 是输入特征向量。例如一张图片的像素值、一个样本的若干数值特征； $W$ 是权重向量，表示每个输入特征的重要程度； $b$ 是偏置，可以理解为一个阈值，决定神经元是否容易被激活； $f$ 是激活函数，或者说输出函数； $y$ 是神经元的输出。 很多初学者第一次看到这个公式时会问：这里的 $f$ 到底是什么？是不是一个 0/1 函数？这个猜测是有道理的。在最早的感知机模型中，$f$ 确实常常是阶跃函数： $$ f(z)= \begin{cases} 1, & z > 0 \\ 0, & z \le 0 \end{cases} $$ 也就是说，从二维来看，如果加权求和的结果大于 0，输出 1；否则输出 0。这看起来就是一个硬性的二分类器。从几何上看，感知机在输入空间中定义了一个超平面： $$ W^T x + b = 0 $$ 这个超平面把数据分成两类：一侧输出 1，另一侧输出 0。在二维空间里，它是一条直线；在三维空间里，它是一个平面；在更高维空间里，它是超平面。因此，感知机本质上是一个线性分类器。 不过，阶跃函数虽然直观，却有一个严重问题：它在 $z=0$ 处不可导。不可导意味着我们无法用微积分中的链式法则去计算梯度，也就很难通过“误差反向传播”来更新参数。所以，在现代神经网络中，感知机公式里的 $f$ 通常不再是阶跃函数，而是更平滑、至少几乎处处可导的函数，例如 Sigmoid、Tanh、ReLU 等。这些函数统称为激活函数。就是说，今天当我们写： ...