数学

1.定理的描述 定义：$v_p(x)$表示素数$p$整除$x$的最高次幂。记$v_p(x)=\alpha$也即有$p^{\alpha}||x$ 引理：$n\in \mathbb{Z}^+, x,y\in \mathbb{Z}, \forall p\in\mathbb{P},(p,n)=1,p|x-y,p\nmid x,p\nmid y$，有 $v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y),v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)$ 定理1：$n\in \mathbb{Z}^+, x,y\in \mathbb{Z}, \forall p\in\mathbb{P},p|x-y,p\nmid x,p\nmid y$，有$v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n),v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)+v_p(n)$ 定理2（LTE中 $n=2$情形1）：$n\in \mathbb{Z}^+, 4|x-y,2\nmid x,2\nmid y$，有$v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(n)$ 定理3（LTE中 $n=2$情形2）：$n\in \mathbb{Z}^+, 2|n,2\nmid x,2\nmid y$，有$v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(x+y)+v_2(n)-1$ 证明：不会，我菜。参考这里 2.基本性质和用法 $v_p(x)+v_p(y)=v_p(xy)$ $v_p(x)-v_p(y)=v_p(\frac{x}{y})$（此时需要$y|x$) 是不是很像$\log$函数 我们可以知道，$x|y \Leftrightarrow\forall p|x,p\in\mathbb{P},v_p(x)\leqslant v_p(y)$ $eg1.$求证$2^{m+3}|3^{2^{m+2}}-1$ 应用引理，有$v_2(3^{2^{m+2}}=v_2(3-1)+v_2(3+1)+v_2(2^{m+2})-1=m+4 > v_2(2^{m+3})=m+3$知其成立 $eg2.$已知$a,b,n\in\mathbb{N}^+$,满足$n|a^n-b^n$，求证$n|\frac{a^n-b^n}{a-b}$ 考虑n的一个素因子$p$ 若 $(p,a-b)=1$，有$v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(a^n+b^n)\geqslant v_p(n)$ 若$p|a,p|a$，有$p^{v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})}\geqslant p^{n-1}\geqslant n\geqslant p^{v_p(n)}$ 若$p|a-b,(p,ab)=1$,有$v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n)$ 3.具体做题 利用LTE引理在各种数论题目里乱搞 $eg1.;$求$x^{2022}+y^{2022}=337^z$的全部正整数解 由费马小定理$337|(x^{2022}+y^{2022})-(x+y)$，故$337|x+y$ 故$v_{337}(x^{2022}+y^{2022})=v_{337}(2022)+v_{337}(x+y)=v_{337}(337(x+y))$ 因此$x^{2022}+y^{2022}\leqslant 337^{v_{337}(x^{2022}+y^{2022})}=337^{v_{337}(337(x+y))}\leqslant 337(x+y)$ （显然$p^{v_p(x)}≤x$） 而不等式$x^{2022}+y^{2022}\leqslant 337(x+y)$在$x,y$不全等于1时显然不成立 而且$x=y=1$也不成立 因此原方程无正整数解 $eg2.;m\in\mathbb{Z},p\in\mathbb{P},$令$a_1=8p^m,a_n=(n+1)^{\frac{a_{n-1}}{n}}$，求所有素数$p$使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$，均有$a_n\prod\limits_{i=1}^n(1-\frac{1}{a_i})\in\mathbb{Z}$ 由于对一切n成立，不妨设$n=2$，此时$a_n\prod\limits_{i=1}^n(1-\frac{1}{a_i})=\frac{(a_1-1)(a_2-1)}{a_1}\in\mathbb{Z}$ $\Rightarrow a_1|a_2-1\Leftrightarrow 8p^m|3^{4p^m}-1\Rightarrow p|3^{4p^m}-1$ ...