大一下学期微积分笔记

Wed, 03 Jun 2026 23:00:00 +0800

上半学期：多元函数微分学

1. 二重极限与累次极限

二重极限：$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$
累次极限：$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0} f(x,y)$

2. 无穷小的阶

设$\rho = | \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0} |$为两点间的距离（二元函数中即$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$），若$f(\boldsymbol{x}) = O(\rho^k)$，则称$f$是$k$阶无穷小。

3. 多元函数微分与偏导数

对$n$元函数$u = f(x_1,x_2,\dots,x_n)$，全微分公式： $$du = \frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2 + \dots + \frac{\partial u}{\partial x_n} dx_n$$

4. 方向导数

设$\vec{l} = (\cos\alpha_1, \cos\alpha_2, \dots, \cos\alpha_n)$为单位方向向量（$\alpha_i$是$\vec{l}$与第$i$个坐标轴的夹角），则$f(x_1,\dots,x_n)$在$\boldsymbol{x_0}$处沿$\vec{l}$的方向导数为： $$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(\boldsymbol{x_0}) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_n$$

大一下学期微积分笔记

Wed, 03 Jun 2026 23:00:00 +0800

1. 各种分解

1.1 LU 与 LDU 分解

定义：某矩阵 $A=LU$，则 $U$ 是对 $A$ 作行简化后得到的上三角矩阵。
例子： $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \leftarrow \text{这个是 } U $$

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上半学期：多元函数微分学

1. 二重极限与累次极限

2. 无穷小的阶

3. 多元函数微分与偏导数

4. 方向导数

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1. 各种分解

1.1 LU 与 LDU 分解