大一下学期微积分笔记

上半学期：多元函数微分学

1. 二重极限与累次极限

• 二重极限：$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$
• 累次极限：$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0} f(x,y)$

2. 无穷小的阶

设$\rho = | \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0} |$为两点间的距离（二元函数中即$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$），若$f(\boldsymbol{x}) = O(\rho^k)$，则称$f$是$k$阶无穷小。

3. 多元函数微分与偏导数

对$n$元函数$u = f(x_1,x_2,\dots,x_n)$，全微分公式： $$du = \frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2 + \dots + \frac{\partial u}{\partial x_n} dx_n$$

4. 方向导数

设$\vec{l} = (\cos\alpha_1, \cos\alpha_2, \dots, \cos\alpha_n)$为单位方向向量（$\alpha_i$是$\vec{l}$与第$i$个坐标轴的夹角），则$f(x_1,\dots,x_n)$在$\boldsymbol{x_0}$处沿$\vec{l}$的方向导数为： $$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(\boldsymbol{x_0}) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{x_0})\cos\alpha_n$$

5. 梯度（grad）

对数量场$u=f(x_1,\dots,x_n)$，在$\boldsymbol{x_0}$处的梯度为向量： $$\mathrm{grad}, f(\boldsymbol{x_0}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\ \frac{\partial f}{\partial x_2},\ \dots,\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)\bigg|_{\boldsymbol{x_0}}$$

6. 高阶偏导数

若二阶混合偏导数连续，则混合偏导与求导顺序无关： $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

7. 向量值函数的微分

设向量值函数$\boldsymbol{Y} = f(\boldsymbol{X})$，即 $$\begin{cases} y_1 = f_1(x_1,\dots,x_n) \\ \quad \vdots \\ y_m = f_m(x_1,\dots,x_n) \end{cases}$$ 定义$f$对应的雅可比（Jacobi）矩阵为： $$Jf(\boldsymbol{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$ 则全微分满足：$d\boldsymbol{Y} = Jf(\boldsymbol{x}) \cdot d\boldsymbol{X}$。

若$m=n$，则$Jf(\boldsymbol{x})$的行列式称为雅可比行列式，记作： $$\left. \frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} \right|_{\boldsymbol{x_0}}$$

8. 复合向量函数的微分（链式法则）

若$\boldsymbol{u} = g(\boldsymbol{x})$与$\boldsymbol{y} = f(\boldsymbol{u})$均可微，则复合函数的微分满足： $$d(f\circ g)(\boldsymbol{x_0}) = Jf(\boldsymbol{u_0}) \cdot Jg(\boldsymbol{x_0}) \cdot d\boldsymbol{x}$$ 即复合函数的雅可比矩阵等于各层雅可比矩阵的矩阵乘积，也可写作：

$$\left. \frac{D(y_1,\dots,y_m)}{D(x_1,\dots,x_n)} \right|{\boldsymbol{x_0}} = \left. \frac{D(y_1,\dots,y_m)}{D(u_1,\dots,u_k)} \right|{\boldsymbol{u_0}} \cdot \left. \frac{D(u_1,\dots,u_k)}{D(x_1,\dots,x_n)} \right|_{\boldsymbol{x_0}}$$

9. 拉普拉斯（Laplace）算子

三维拉普拉斯算子定义为： $$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ 作用于数量函数时，$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$。

10. 隐函数求导（标量隐函数）

设隐函数方程$F(u, x_1, \dots, x_n) = 0$确定了隐函数$u=u(x_1,\dots,x_n)$，则： $$\frac{\partial u}{\partial x_i} = -\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F}{\partial u}}$$

11. 反函数的微分（向量值）

设$\boldsymbol{Y} = f(\boldsymbol{X})$，且存在反函数$\boldsymbol{X} = f^{-1}(\boldsymbol{Y})$，若$Jf(\boldsymbol{x})$可逆，则反函数的雅可比矩阵满足： $$J(f^{-1})(\boldsymbol{Y}) = \left[ Jf(\boldsymbol{X}) \right]^{-1}$$ 即反函数的雅可比矩阵是原函数雅可比矩阵的逆矩阵。

12. 曲线、曲面的切线与切平面

12.1 显式曲面 $z=f(x,y)$

设$f$在$(x_0,y_0)$处可微，则过$(x_0,y_0,z_0)$（$z_0=f(x_0,y_0)$）的：

• 切平面方程：$z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$
• 法向量：$\vec{n} = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ -1 \right) \right|_{(x_0,y_0)}$
• 法线方程：$\frac{x-x_0}{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$

12.2 隐式曲面 $F(x,y,z)=0$

过曲面上点$(x_0,y_0,z_0)$的：

• 切平面方程：$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$
• 法向量：$\vec{n} = \left. \left( \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial F}{\partial y},\ \frac{\partial F}{\partial z} \right) \right|_{(x_0,y_0,z_0)}$
• 法线方程：$\frac{x-x_0}{\dfrac{\partial F}{\partial x}} = \frac{y-y_0}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = \frac{z-z_0}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$

12.3 参数曲面

设曲面参数方程为$\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases}$，记参数点$(u_0,v_0)$对应曲面上点$P_0$，令： $$A = \left. \frac{D(y,z)}{D(u,v)} \right|{(u_0,v_0)},\quad B = \left. \frac{D(z,x)}{D(u,v)} \right|{(u_0,v_0)},\quad C = \left. \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \right|_{(u_0,v_0)}$$ 则在$P_0$处：

• 切平面方程：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$
• 法向量：$\vec{n} = (A,\ B,\ C)$
• 法线方程：$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$

12.4 参数曲线

设空间曲线参数方程为$L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}$，$t=t_0$对应点$P_0(x_0,y_0,z_0)$，则：

• 切向量：$\vec{T} = \left( x’(t_0),\ y’(t_0),\ z’(t_0) \right)$
• 切线方程：$\frac{x-x_0}{x’(t_0)} = \frac{y-y_0}{y’(t_0)} = \frac{z-z_0}{z’(t_0)}$
• 法平面方程：$x’(t_0)(x-x_0) + y’(t_0)(y-y_0) + z’(t_0)(z-z_0) = 0$

12.5 两曲面交线

两个空间曲面$F(x,y,z)=0$与$G(x,y,z)=0$的交线$\Gamma$，在点$P_0$处： 令 $$A = \left. \frac{D(F,G)}{D(y,z)} \right|{P_0},\quad B = \left. \frac{D(F,G)}{D(z,x)} \right|{P_0},\quad C = \left. \frac{D(F,G)}{D(x,y)} \right|_{P_0}$$ 则

• 切向量：$\vec{T} = (A,\ B,\ C) = \mathrm{grad},F \times \mathrm{grad},G$
• 法平面方程：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

13. 多元函数泰勒公式（极简版）

对$n$元函数$y=f(x_1,\dots,x_n)$，记$\boldsymbol{X}=(x_1,\dots,x_n)$，则在$\boldsymbol{X_0}$处的一阶泰勒展开（带拉格朗日余项）为： $$f(\boldsymbol{X}) = f(\boldsymbol{X_0}) + Jf(\boldsymbol{X_0}) \cdot \Delta\boldsymbol{X} + \frac{1}{2!} (\Delta\boldsymbol{X})^T \cdot H(\boldsymbol{X_0} + \theta \cdot \Delta\boldsymbol{X}) \cdot (\Delta\boldsymbol{X}),\quad \theta\in(0,1)$$ 其中：

• $Jf(\boldsymbol{X_0}) = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\ \dots,\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \right|_{\boldsymbol{X_0}}$ 为雅可比矩阵（行向量）
• $H(\boldsymbol{X_0})$ 为海塞（Hesse）矩阵，是对称矩阵（$H^T=H$）： $$H(\boldsymbol{X_0}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}\bigg|_{\boldsymbol{X_0}}$$

14. 极值与条件极值

14.1 无条件极值

设$f$在$\boldsymbol{X_0}$处具有二阶连续偏导数，且$\boldsymbol{X_0}$为驻点：

• 若$H(\boldsymbol{X_0})$正定，则$\boldsymbol{X_0}$是极小值点；
• 若$H(\boldsymbol{X_0})$负定，则$\boldsymbol{X_0}$是极大值点。

14.2 条件极值（拉格朗日乘数法）

目标函数$f(x_1,\dots,x_n)$，约束条件$\varphi(x_1,\dots,x_n)=0$。 构造拉格朗日函数： $$L(\lambda, x_1,\dots,x_n) = f(x_1,\dots,x_n) + \lambda \cdot \varphi(x_1,\dots,x_n)$$ 解方程组 $$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x_i} = 0,\quad i=1,2,\dots,n \\ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$ 得到的驻点为可能的极值点。

15. 含参积分相关

15.1 常限含参积分

设$I(y) = \int_a^b f(x,y) dx$，若$f$与$\partial f/\partial y$连续，则： $$\frac{dI(y)}{dy} = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) dx$$ 即可在积分号下求导。

15.2 变限含参积分（莱布尼茨公式）

设$I(y) = \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,y) dx$，则： $$\frac{dI(y)}{dy} = \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) dx + f\big(\beta(y), y\big) \cdot \beta’(y) - f\big(\alpha(y), y\big) \cdot \alpha’(y)$$

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下半学期：积分学 + 级数

1. 多重积分

1.1 二重积分

累次积分与重积分的对应： $$\int_a^b dx \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) dy \quad \Longleftrightarrow \quad \iint_D f(x,y) dxdy$$

1.2 三重积分

$$\int_a^b dx \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} dy \int_{u(x,y)}^{v(x,y)} f(x,y,z) dz \quad \Longleftrightarrow \quad \iiint_\Omega f(x,y,z) dxdydz$$

2. 多重积分的变量代换

2.1 二重积分变量代换

设变换$\begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \end{cases}$，则面积元满足： $$dxdy = \left| \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \right| dudv$$ 极坐标代换：$\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}$，则$dxdy = \rho , d\rho d\theta$。

2.2 三重积分变量代换

设变换$\begin{cases} x = x(r,s,t) \\ y = y(r,s,t) \\ z = z(r,s,t) \end{cases}$，则体积元满足： $$dxdydz = \left| \frac{D(x,y,z)}{D(r,s,t)} \right| drdsdt$$

• 柱坐标代换：$\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}$，则$dxdydz = \rho , d\rho d\theta dz$。
• 球坐标代换（极角为$\theta$，方位角为$\varphi$）： $$\begin{cases} x = r \sin\theta \cos\varphi \\ y = r \sin\theta \sin\varphi \\ z = r \cos\theta \end{cases}$$ 则$dxdydz = r^2 \sin\theta , dr d\theta d\varphi$。

  注：不同教材符号约定可能不同，国内教材常以$\varphi$为极角（与z轴夹角），此时雅可比为$r^2 \sin\varphi$。

3. 重积分的典型应用计算

3.1 空间曲面面积

设曲面$z=f(x,y)$在$xOy$平面上的投影区域为$D_{xy}$，则曲面面积： $$S = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dxdy$$

若投影区域上曲面有重合，需切开分段计算。

3.2 物体质心问题

设空间物体$\Omega$的密度函数为$\rho(x,y,z)$，记：

• 总质量：$M = \iiint_\Omega \rho , dV$
• 静矩：$M_x = \iiint_\Omega x\rho , dV,\quad M_y = \iiint_\Omega y\rho , dV,\quad M_z = \iiint_\Omega z\rho , dV$

则质心坐标为： $$\left( \frac{M_x}{M},\ \frac{M_y}{M},\ \frac{M_z}{M} \right)$$

4. 第一类曲线/曲面积分（对弧长/对面积）

4.1 第一类曲线积分（对弧长）

标量积分，无方向，核心是弧长元素代换。

• 空间参数曲线$L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases},\ t\in[\alpha,\beta]$，则： $$\int_L f(x,y,z) dl = \int_\alpha^\beta f\big(x(t),y(t),z(t)\big) \cdot \sqrt{x’(t)^2 + y’(t)^2 + z’(t)^2} , dt$$
• 平面曲线$y=y(x),\ x\in[a,b]$，则： $$\int_L f(x,y) dl = \int_a^b f\big(x,y(x)\big) \cdot \sqrt{1 + y’(x)^2} , dx$$

应用：由线密度求曲线质量/质心、求柱面侧面积等。

4.2 第一类曲面积分（对面积）

标量积分，核心是面积元素代换。

• 参数曲面$\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases}$，投影区域为$D_{uv}$，记 $$A = \frac{D(y,z)}{D(u,v)},\quad B = \frac{D(z,x)}{D(u,v)},\quad C = \frac{D(x,y)}{D(u,v)}$$ 则： $$\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_{D_{uv}} f\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big) \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} , dudv$$

• 显式曲面$z=z(x,y)$，投影区域为$D_{xy}$，则： $$\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_{D_{xy}} f\big(x,y,z(x,y)\big) \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dxdy$$

5. 第二类曲线/曲面积分（对坐标）

5.1 第二类曲线积分（对坐标）

向量点乘形式，有方向，$d\boldsymbol{l} = (dx, dy, dz)$，向量场$\boldsymbol{F}(x,y,z) = \big(X(x,y,z),\ Y(x,y,z),\ Z(x,y,z)\big)$，则： $$\int_L \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_L Xdx + Ydy + Zdz$$

代入参数方程$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases},\ t\in[\alpha,\beta]$（$\alpha$对应起点，$\beta$对应终点），得： $$\int_L \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \left[ X \cdot x’(t) + Y \cdot y’(t) + Z \cdot z’(t) \right] dt$$

5.2 第二类曲面积分（对坐标）

向量场$\boldsymbol{F}(x,y,z) = \big(X(x,y,z),\ Y(x,y,z),\ Z(x,y,z)\big)$，则： $$\iint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \iint_S X dydz + Y dzdx + Z dxdy$$

• 投影符号规则：以$dxdy$为例，曲面法向量与$z$轴夹角小于$\pi/2$时取正，大于$\pi/2$时取负，垂直时为0。
• 参数曲面形式：若曲面由参数$(u,v)$表示，记$A=\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\ B=\frac{D(z,x)}{D(u,v)},\ C=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}$，则 $$\iint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \pm \iint_{D_{uv}} (XA + YB + ZC) dudv$$ 正负号由曲面法向量的方向决定。

计算注意：若投影区域上曲面有重合，需分割计算。

6. 梯度、散度、旋度

哈密顿算子：$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z} \right)$

1. 梯度：作用于数量场$u$，结果为向量 $$\mathrm{grad}, u = \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial z} \right)$$

2. 散度：作用于向量场$\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)$，结果为标量 $$\mathrm{div}, \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}$$ 物理意义：描述某点处向量场向外发散或向内汇聚的强度。

3. 旋度：作用于向量场$\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)$，结果为向量 $$\mathrm{rot}, \boldsymbol{F} = \nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z},\ \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x},\ \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right)$$ 二维平面向量场的旋度可简化为标量：$\mathrm{rot}, \boldsymbol{F} = \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}$。 物理意义：描述某点周围向量场的旋转趋势。

7. 格林（Green）公式

设$D$是平面有界闭区域，其边界$C=\partial D$取正向（沿边界行走时，区域$D$总在左侧），向量场$\boldsymbol{F}=(X(x,y), Y(x,y))$，则： $$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_C Xdx + Ydy = \iint_D \left( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) dxdy$$

物理意义：闭合曲线的环流量等于区域内部所有点旋度的总和。

两大典型应用：

1. 补线法计算非闭合曲线积分：若曲线$C$不闭合，可补线$C^$使$C\cup C^$闭合，用格林公式计算闭合积分，再减去补线上的积分。
2. 判断积分与路径无关：在单连通区域$D$内，若$\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}$对所有$(x,y)\in D$成立，则曲线积分与路径无关，可更换为更简单的路径，或寻找原函数$u(x,y)$使得$du=Xdx+Ydy$，此时积分结果为$u(B)-u(A)$。

平面区域面积公式：$S = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} xdy - ydx$。

8. 高斯（Gauss）公式

设$\Omega$是空间有界闭区域，其边界$\Sigma$取外侧曲面，向量场$\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)$，则： $$\oiint_\Sigma \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z} \right) dxdydz$$ 即 $$\oiint_\Sigma X dydz + Y dzdx + Z dxdy = \iiint_\Omega \mathrm{div}, \boldsymbol{F} , dV$$

物理意义：流出闭合曲面的总流量等于区域内部所有“源”的强度之和。

解题常用“补面法”：对非闭合曲面，补面使其闭合后用高斯公式，再减去补面上的积分。

9. 斯托克斯（Stokes）公式

可视为空间版本的格林公式。 设$S$是空间光滑曲面，$\Gamma$是$S$的边界曲线，$\Gamma$的方向与$S$的法向量符合右手螺旋定则（沿$\Gamma$前进时，曲面$S$在左侧），向量场$\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)$，则： $$\oint_\Gamma \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \iint_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S}$$ 展开为坐标形式： $$\oint_\Gamma Xdx + Ydy + Zdz = \iint_S \left( \frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z} \right) dydz + \left( \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x} \right) dzdx + \left( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right) dxdy$$

物理意义：闭合曲线的环流量等于穿过内部曲面的旋度通量总和。

应用技巧：若$\mathrm{rot}, \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$（无旋场），则空间曲线积分与路径无关，可更换路径或寻找原函数计算。

10. 常数项级数

10.1 正项级数判别法

1. 比较判别法（极限形式） 设$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = L$：

   • 若$0 < L < +\infty$，则$\sum u_n$与$\sum v_n$同敛散；
   • 若$L = 0$，则$\sum v_n$收敛$\implies \sum u_n$收敛；
   • 若$L = +\infty$，则$\sum v_n$发散$\implies \sum u_n$发散。

2. 比值判别法（达朗贝尔） 设$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：

   • $\rho < 1$时，级数收敛；
   • $\rho > 1$时，级数发散；
   • $\rho = 1$时，判别法失效。

3. 根值判别法（柯西） 设$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：

   • $\rho < 1$时，级数收敛；
   • $\rho > 1$时，级数发散；
   • $\rho = 1$时，判别法失效。

4. Raabe（拉贝）判别法 若存在$\rho>1$，使得当$n$充分大时，$n\left( \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 \right) \ge \rho$，则$\sum u_n$收敛； 若当$n$充分大时，$n\left( \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 \right) \le 1$，则$\sum u_n$发散。

5. 积分判别法 设$f(x)$在$[1,+\infty)$上非负、单调递减，$u_n = f(n)$，则$\sum_{n=1}^\infty u_n$与$\int_1^{+\infty} f(x)dx$同敛散。

10.2 交错级数与一般项级数

1. 莱布尼茨（Leibniz）判别法 若交错级数$\sum (-1)^n u_n$满足：${u_n}$单调递减，且$\lim\limits_{n\to\infty} u_n = 0$，则级数收敛（称为莱布尼茨级数）。

2. 绝对收敛与条件收敛

   • 绝对收敛的级数满足交换律，重排后和不变；
   • 条件收敛的级数不满足交换律，可通过重排得到任意和。

3. 阿贝尔（Abel）判别法 若$\sum u_n$收敛，数列${v_n}$单调有界，则$\sum u_n v_n$收敛。

4. 狄利克雷（Dirichlet）判别法 若$\sum u_n$的部分和数列有界，数列${v_n}$单调且$\lim\limits_{n\to\infty} v_n = 0$，则$\sum u_n v_n$收敛。

   莱布尼茨级数是狄利克雷判别法的特例。

11. 函数项级数基础

11.1 收敛域与和函数

设$u_n(x)$是关于$x$的函数，称$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$为函数项级数。

• 收敛域：所有使级数收敛的$x$构成的集合$I = \left{ x ,\bigg|, \sum_{n=1}^\infty u_n(x) \text{ 收敛} \right}$。
• 和函数：$S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x),\quad \forall x\in I$。

11.2 一致收敛

定义：若对任意$\varepsilon>0$，存在与$x$无关的正整数$N$，使得当$n>N$时，对所有$x\in I$，都有 $$\left| \sum_{k=1}^n u_k(x) - S(x) \right| < \varepsilon$$ 则称级数$\sum u_n(x)$在$I$上一致收敛于$S(x)$。

狄利克雷判别法、阿贝尔判别法也可用于判断函数项级数的一致收敛性。 只有一致收敛的函数项级数，才能保证和函数连续、可逐项积分、逐项微分。

12. 幂级数

幂级数是特殊的函数项级数，标准形式为$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$（一般形式为$\sum a_n (x-x_0)^n$）。

12.1 收敛半径

存在收敛半径$\rho$，使得：

• 当$|x| < \rho$时，级数绝对收敛；
• 当$|x| > \rho$时，级数发散。

收敛半径计算公式： $$\frac{1}{\rho} = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$

注：收敛半径内不一定内闭一致收敛；收敛域需单独判断端点$x=\pm\rho$处的敛散性。 函数的泰勒级数不一定收敛到原函数本身。

13. 傅里叶级数

13.1 三角形式傅里叶级数

形如$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$的级数，若收敛则其和函数是以$2\pi$为周期的函数。

内积与正交性：对$f,g\in C[-\pi,\pi]$，定义内积 $$(f,g) = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) dx$$ 若$(f,g)=0$，称$f$与$g$正交。三角函数系${1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\dots}$在$[-\pi,\pi]$上正交。

对$f\in R[-\pi,\pi]$，其三角形式傅里叶级数为： $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$$ 其中傅里叶系数为： $$ \begin{cases} a_n = \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx , dx,\quad n=0,1,2,\dots \\ b_n = \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx , dx,\quad n=1,2,\dots \end{cases} $$

• 若$f$为奇函数，则$a_n=0$，级数为正弦级数：$f(x) \sim \sum b_n \sin nx$；
• 若$f$为偶函数，则$b_n=0$，级数为余弦级数：$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum a_n \cos nx$。

13.2 任意周期的傅里叶级数

对周期为$2l$的函数$f(x)$，作变量替换$t = \frac{\pi x}{l}$，令$\varphi(t) = f\left( \frac{lt}{\pi} \right) = f(x)$，则$\varphi(t)$是周期为$2\pi$的函数。将$\varphi$展开为傅里叶级数后代回，得： $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right)$$ 其中 $$ \begin{cases} a_n = \displaystyle \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx \\ b_n = \displaystyle \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx \end{cases} $$

13.3 黎曼-勒贝格（Riemann-Lebesgue）引理

若$f$在$[a,b]$上可积，则： $$\lim_{\lambda\to+\infty} \int_a^b f(x) \sin\lambda x , dx = \lim_{\lambda\to+\infty} \int_a^b f(x) \cos\lambda x , dx = 0$$ 推论：可积函数的傅里叶系数满足$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$，$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0$。

13.4 狄利克雷收敛定理

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且在一个周期内分段光滑（或分段单调且仅有有限个第一类间断点），则$f(x)$的傅里叶级数在任意点$x$处收敛于$f(x)$在该点左右极限的平均值： $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$$

• 在$f$的连续点处，级数收敛于$f(x)$本身。

13.5 贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式

1. 贝塞尔（Bessel）不等式 若$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上可积，则其傅里叶系数满足： $$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx$$

2. 帕塞瓦尔（Parseval）等式（封闭性公式） 若$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上平方可积，则贝塞尔不等式取等号： $$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx$$